Niemand dürfte hier eine tatsächliche Rechtsberatung vornehmen, das nur vorab.

Ich denke, das wichtigste ist jetzt reden mit dem Chef und/oder dem Betriebsrat.

Am Ende geht es ja vor allem darum, eine für alle Seiten akzeptable Lösung zu finden.

Das Leistungsverweigerungsrecht hat aus meiner Sicht zwei Aspekte: den Fall von Unzumutbarkeit der weiteren Arbeit, also bei komplexen Diskrepanzen, Rechtsverstößen durch den Arbeitgeber usw.
Hier schützt das BGB den Arbeitnehmer - oft in Hinsicht auf unvermeidlich anstehende rechtliche Auseinandersetzungen, das ist hier nicht das Thema.
Aber auch im jetzt vielfach vorliegendem Fall kann es greifen, wenn es sonst keine Lösung gibt. Das Recht schützt vor Kündigungen in solchen Fällen - Info/Aussprache mit dem Arbeitgeber vorausgesetzt.
Eine Lohnfortzahlung ist damit aber nicht zwingend verbunden, es kann sie für überschaubare Zeiten geben.
Auch deshalb: reden, reden, reden... Gibt es Varianten der Arbeitszeitverschiebung? usw. usw.

Diese Frage steht natürlich parallel auch bei einer möglichen Heimarbeit. Natürlich ist es klar, dass in den meisten Fällen eine intensive Heimarbeit bei gleichzeitiger Kinderbetreuung zumindest sehr schwer ist. Aber auch hier steht die Frage, ob die Heimarbeit an feste Arbeitszeiten geknüpft ist oder ggf. zeitversetzt zu leisten ist (wenn der andere dann zu Hause ist).
Alle Fälle werden so aber nicht zu lösen sein ...

Und klar: leicht ist die Situation keinesfalls. Einbußen verschiedener Art werden viele treffen - nicht selten ohne Möglichkeit einer Erstattung.

Übrigens: Betreuung der Kinder auf Elterninitiative - dazu sagt einer der Chefvirologen, es sei im Zweifel immer besser, die bisherigen Gruppen -möglichst kleiner- beizubehalten, als neue Gruppen zusammenzustellen...